„Spośród wszystkich innych nauk matematyka przede wszystkim z jednego powodu cieszy się szczególnym poważaniem; jej twierdzenia są bezwzględnie pewne i niezaprzeczalne, podczas gdy twierdzenia wszystkich innych nauk są do pewnego stopnia przedmiotem sporu i wciąż narażone na obalenie wskutek odkrycia nowych faktów"

— autorem tych słów jest nie byle kto, bo sam Albert Einstein, który przecież matematykiem nie był. Już akcentowaliśmy, że Królowa Nauk niezależna jest od aktualnie panujących trendów politycznych czy szczęśliwych eksperymentów. Twierdzenie albo jest prawdziwe, albo nie, albo jeszcze tego nie wiemy. Gdy już coś wykazaliśmy i dowód został sprawdzony — to możemy się cieszyć. Jeśli odkryty został kontrprzykład — trudno, wynik, o którym skrycie marzyliśmy, słuszny nie jest, ale wiemy o tym z całą pewnością. Ewentualnie czekamy na tego wielkiego, który rozstrzygnie prawdziwość — np. hipotezy Riemanna...

Panuje przekonanie, że jeśli w matematyce jakąś teorię już wymyślono, to nie można jej zmienić — w przeciwieństwie do innych nauk. Dopuszczalne są tylko korekty w oznaczeniach, ułatwiające spostrzeżenie nowych wyników. Bywa, iż dana teoria staje się częścią innej, większej, bardziej ogólnej. Nie wpływa to jednak na jej poprawność. Może się też zdarzyć, że w miarę upływu czasu uczeni stracą zainteresowanie pewnym działem, w nim już nic specjalnie ciekawego i nowego odkryć nie można, ten kierunek badań został bowiem wyeksploatowany. Teoria przejdzie na zasłużoną emeryturę, nikt jednak nie zarzuci jej fałszu. W przypadku innych dziedzin bywa bardzo różnie. Historia nauki bogata jest w przedziwne zdarzenia. Jak długo ludzie byli przekonani, że Słońce krąży wokół Ziemi? Czego uczyli wybitni przecież —jak na ówczesne czasy — naukowcy przed rozpowszechnieniem teorii Kopernika? W czasach nam bliższych —jak długo trzeba było przekonywać uczonych, że flogiston nie istnieje? Gdy Edison zaprezentował działanie fonografu członkom specjalnej komisji Francuskiej Akademii Nauk, uznali oni to za „ohydny trik brzuchomówcy". Premier Anglii, W. E. Gladstone, twierdził, że „pan Faraday powinien pieniądze, które marnuje na swoje dziecinne eksperymenty z elektromagnesami, przekazać raczej na dobroczynność". Wielkie kłopoty mieli Louis Pasteur, Albert Einstein... Odkrywca jądra atomowego, sir Ernest Rutheford, laureat Nagrody Nobla, powiedział w 1937 roku: „Każdy, kto wierzy, że z atomu uda się wytworzyć energię, jest szaleńcem". Francuska Akademia Nauk w 1812 roku uznała, że „nie było meteorytów i nie ma kamieni meteorytowych, ponieważ w niebie nie ma kamieni". Gdy Max Dieckmann pragnął w 1913 roku wygłosić w Monachium odczyt o telewizji, dziekan Wyższej Szkoły Technicznej odmowę uzasadnił słowami: „Na naszym fakultecie nie są dopuszczane tematy nienaukowe". Teoria rozszerzającego się Wszechświata została uznana za „wymysł uczonych burżuazyjnych, by uczynić zadość życzeniom reakcjonistów". I jak te wszystkie wypowiedzi oceniamy po pewnym czasie, z reguły wcale nie tak długim? Nie mówiąc już o gałęziach wiedzy mniej związanych z naukami ścisłymi. A są to tylko wypowiedzi ludzi, którzy być może nieco lekkomyślnie i zbyt arbitralnie prezentowali swoje poglądy. Nauka zna wiele bardzo poważnych teorii wyjaśniających różne zjawiska, które po latach musiały upaść — nie dlatego, że były mało dokładne, lecz pod pręgierzem „bezdusznych" faktów okazały się z gruntu fałszywe. Tak było ze wspomnianym już flogistonem, systemem geocentrycznym i eterem. Jakże często okazuje się, że Jedynie słuszne" teorie już po kilkunastu latach są odsądzane od czci i wiary, a dogmaty niektórych „autorytetów" są wycofywane z podręczników.

Skąd bierze się sąd o bezwzględnej prawdziwości teorii matematycznych? Odpowiedź jest prosta: są one z reguły teoriami aksjomatycznymi, opartymi na metodzie dedukcyjnej, z rygorystycznym uwzględnieniem praw logiki matematycznej. Metoda i logika gwarantują niepodważalność rozumowań, szybkie wykrycie nieścisłości, wychwycenie fałszywych hipotez.

Nie od razu matematycy budowali teorie aksjomatyczne. W okresie helleńskim o aksjomatach nie myślano. Jako pierwsza aksjomatycznego ujęcia doczekała się, mniej więcej w czwartym wieku przed naszą erą, geometria. Prawdopodobnie prób ułożenia nagromadzonych wyników geometrycznych w spójny, logiczny system było wówczas wiele, ale do naszych czasów zachowała się jedynie propozycja Euklidesa. W trzynastu księgach Elementów zawarta została w logicznym porządku niemal cała wiedza geometryczna (i nie tylko) Greków. Metoda dedukcyjna stała się wzorem rozumowania dla pokoleń matematyków.

Znacznie później, dokładna i krytyczna analiza Elementów wykazała, że dzieło to nie jest wolne od nieścisłości i luk. Euklides używał pewnych pojęć, których ani nie wyjaśniał, ani nie uważał za pierwotne. Należą do nich: ruch, ciągłość, a także „leżenie między". Zauważono, nie bez zdziwienia, iż nie wszystkie twierdzenia daje się wyprowadzić z aksjomatów i wcale nie muszą to być twierdzenia bardzo skomplikowane. Wręcz przeciwnie, bywają to fakty tak oczywiste, że aż niezauważalne, umykające uwadze. Na przykład w drugiej połowie XIX wieku (dopiero!) M. Pasch odkrył, że posługując się podanym przez Euklidesa układem aksjomatów i pojęć pierwotnych nie można wykazać takiego oto prostego spostrzeżenia:

Jeśli prosta przecina jeden z boków trójkąta i nie przechodzi przez wierzchołek, to musi przeciąć jeszcze jeden bok tego trójkąta.

Wskazanie takiej sytuacji oznaczało, że układ aksjomatów geometrii był niekompletny, niezupełny. Należało go poddać dokładniejszej rewizji i uzupełnić, aby nie być zaskakiwanym przez przykre niespodzianki. Dokonał tego Hilbert w 1900 roku. Wypada nadmienić, że interesujący i chętnie używany zestaw aksjomatów geometrii zaproponował znakomity matematyk i logik polskiego pochodzenia Alfred Tarski.

Zauważmy, że sposób rozstrzygnięcia problemu aksjomatu Pascha, podobnie jak problemu aksjomatu o równoległych wspomnianego w rozdziale o geometrii, wydają się raczej nietypowe. Nie udowodniono twierdzenia, nie wykazano, że jest fałszywe. Stwierdzono, iż nie da się uzasadnić jego prawdziwości opierając się na istniejącym zestawie aksjomatów.

Sytuacja, która zaistniała w geometrii była pierwszym przypadkiem tego typu w dziejach matematyki. Rozwój tej nauki, a w szczególności metod aksjomatycznych, miał pokazać, że to z pozoru niezwykłe zjawisko okaże się wcale nie tak wyjątkowym. Przy okazji warto zaznaczyć, iż, doceniając wielkość i znaczenie Elementów, matematycy bardzo długo nie stosowali metody aksjomatycznej w innych działach matematyki. Do czasu. W pewnym sensie kluczowymi okazały się zasygnalizowane już badania Georga Cantora. W latach siedemdziesiątych dziewiętnastego wieku uznał on, że korzystne może być analizowanie zbiorów złożonych z absolutnie dowolnych elementów. Dziś nie brzmi to zaskakująco, ale wtedy było to istotne novum — badano wówczas obiekty o naturze bardziej sprecyzowanej, jak np. liczby, figury geometryczne, funkcje... Badania Cantora dały początek nowemu działowi matematyki, czyli teorii zbiorów (w Polsce przyjęła się nazwa teoria mnogości). Obecnie na elementach teorii mnogości bazują wszystkie dziedziny matematyki.

Rezultaty Cantora okazały się szokujące, gdyż zachwiały pewnymi utartymi, a nie sformalizowanymi intuicjami. Można powiedzieć, że Cantor zdecydował się zrobić porządek w pewnym pokoju, który, jak dotąd, wszyscy oglądali i myśleli, że wiedzą, co tam jest. Już przy wstępnej fazie porządków okazało się jednak, że nie tylko wiele cennych, ukrytych dotąd rzeczy ujrzało światło dzienne, ale dużo przedmiotów, widocznych uprzednio, naprawdę ma zupełnie inny kształt niż się wydawało.

O co poszło? Do czasów Cantora nieskończoność okryta była pewnego rodzaju „mgiełką milczenia", mimo że towarzyszyła matematykom od samego początku powstania nauki. Traktowana była po prostu jako „coś nieosiągalnego". Wiadomo było, że liczb naturalnych (i w szczególności pierwszych) jest nieskończenie wiele, lecz nie rozważano ich wszystkich jednocześnie. W geometrii nieskończoność prostej oznaczała, że można ją dowolnie przedłużać. Przez tysiąclecia nie badano nieskończoności jako obiektu. Uważano, że ludzki rozum nie może jej ogarnąć. Kartezjusz twierdził, że „nieskończoność jest rozpoznawalna, lecz nie poznawalna", a Gauss, że „w matematyce nie można wielkości nieskończonej traktować jak coś skończonego; nieskończoność to nic innego jak «sposób wyrażania się», oznaczający granicę, do której zmierzają jedne wielkości, gdy inne nieskończenie maleją". A tu nagle Cantor mocno „zamieszał" i naruszył tradycje pojmowania nieskończoności.

Podjął się on między innymi klasyfikacji zbiorów nieskończonych ze względu na „liczbę elementów". W przypadku zbiorów skończonych nie ma z tym kłopotów; dla każdego zbioru liczba jego elementów jest określona. Jak jednak scharakteryzować zbiory, gdy elementów nie da się policzyć, bo jest ich nieskończenie wiele?

Wyobraźmy sobie, że mamy dwa zbiory skończone. Jak sprawdzić, czy mają one tyle samo elementów? To proste — wystarczy policzyć. Gdy jednak zbiory są duże, metoda ta jest dość męcząca. Jest lepszy sposób — łączymy w pary elementy jednego zbioru z elementami zbioru drugiego. Jeżeli wyczerpiemy oba zbiory równocześnie, wówczas wiadomo, iż rozważane zbiory mają tę samą liczbę elementów.

Łączenie w pary kojarzy się z funkcją prowadzącą z jednego zbioru do drugiego. Wykorzystując rozważaną już wcześniej nazwę powiemy, że dwa zbiory mają tyle samo elementów (są równoliczne), jeśli istnieje bijekcja z jednego zbioru na drugi. Tak więc np. zbiór liczb naturalnych od 1 do 35 i 35-elementowy zbiór uczniów klasy la są równoliczne (każdemu uczniowi przyporządkowana jest jednoznacznie odpowiednia liczba — np. numer w dzienniku).

W definicji tej nie korzystaliśmy jednak z tego, że zbiory są skończone. Czemu więc nie stosować jej do zbiorów dowolnych, także i nieskończonych? Zamiast bezpośrednio łączyć elementy w pary wystarczy podać odpowiedni przepis — bijekcję jednego zbioru na drugi. I tu mamy niespodziankę. Wiele zbiorów nieskończonych ma taką samą „liczbę" elementów, mimo iż pozornie wydaje się, że wcale tak nie jest. Na przykład zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych.

Przepis łączący w pary elementy obu zbiorów jest bardzo prosty — jedynkę łączymy z dwójką, dwójkę z czwórką, czwórkę z szóstką... Ogólnie — liczbę o numerze n z liczbą parzystą o numerze 2n. Tak samo można pokazać, że równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (oznaczanym przez N) jest zbiór liczb podzielnych przez pięć, zbiór potęg dwójki... Równolicznym z W jest każdy zbiór, którego elementy możemy ponumerować liczbami naturalnymi (inaczej — ustawić w ciąg). Zbiory takie nazwano przeliczalnymi. Przy okazji otrzymaliśmy zadziwiający i paradoksalny efekt: część — i to z pozoru znacznie mniejsza — nie musi być mniej liczna od całości, chociaż... czy wolno nieskończoność dzielić na pół?

Dotychczas pokazaliśmy jedynie przykłady zbiorów „pozornie mniejszych" a równolicznych ze zbiorem liczb naturalnych. Ale można uzyskać efekt odwrotny—niektóre „pozornie większe" zbiory też mają tyle samo elementów. Liczby całkowite możemy ponumerować, ustawiając je w sposób następujący:

0, 1, -1,2, -2, 3, -3,...

Można ustawić w ciąg także i liczby wymierne, co jest troszkę bardziej skomplikowane, ale wcale nie takie trudne.

Czyżby prawdziwe było zupełnie naturalne przypuszczenie, że wszystkie zbiory nieskończone mają tyle samo elementów? Nieskończoność to nieskończoność — nie ma dyskusji. Gdyby tak było, niektóre intuicje nieskończoności zyskałyby formalne uzasadnienie.

Jest jednak inaczej. Istnieją zbiory — i to wcale nie jakieś wyszukane, ale świetnie nam znane — które mają „więcej" elementów niż zbiór liczb naturalnych. Co to znaczy? Formalnie — że nie istnieje bijekcja między tym zbiorem a N. Bardziej intuicyjnie — elementów takiego zbioru nie można ponumerować liczbami naturalnymi. Jednym z takich zbiorów jest zwyczajny przedział (0,1). To, że tak jest w istocie, dowodzi się nie wprost. Idea uzasadnienia polega na przypuszczeniu, że liczby z tego przedziału można ustawić w ciąg, po czym konstruuje się liczbę większą od zera i mniejszą od jedynki, która w tym ciągu się nie pojawia. Z kolei, co można prosto uzasadnić, zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny z odcinkiem (a więc nierównoliczny z N).

Nieskończoności mogą być zatem różne. „Ilość elementów" zbioru nazwano mocą zbioru albo inaczej liczbą kardynalną. Moce zbiorów skończonych to po prostu liczby naturalne; najmniejszą liczbą kardynalną nieskończoną okazała się moc zbioru liczb naturalnych (oznaczana pierwszą literą alfabetu hebrajskiego alef ze wskaźnikiem zero — Ko). Dociekliwi studenci matematyki przy okazji zapoznawania się z teorią mnogości rozstrzygnęli pewien „niezwykłej wagi" problem: który alfabet ma najwięcej liter? Naturalnie hebrajski: Ko, X2,... Moc zbioru liczb rzeczywistych (przypomnijmy: zapisywanego jako R) oznaczono literą gotycką c — kontinuum. Od razu nasuwa się pytanie: Czy c jest drugą z kolei nieskończoną liczbą kardynalną, czy nie? Innymi słowy, czy istnieje zbiór „pośredni" między N i R — o mocy większej niż zbiór liczb naturalnych, a mniejszej niż zbiór liczb rzeczywistych? Sądzono raczej, że taki zbiór nie istnieje, i przypuszczenie to nazwano hipotezą kontinuum. Problem ten długo spędzał sen z oczu matematyków... Zanim jednak doszło do jego rozstrzygnięcia, teoria mnogości sprawiła swoim sympatykom niejedną niespodziankę.

Do szokującego efektu doprowadziły badania zbioru podzbiorów danego zbioru. Można mianowicie wykazać (dowód podobny jest do tego, który wykazuje, że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych), iż rodzina wszystkich podzbiorów zbioru A ma zawsze większą moc niż zbiór A. To jeszcze nie jest nic zaskakującego. Być może słyszeliśmy w szkole, że w przypadku zbioru n-elementowego rodzina jego podzbiorów ma 2" elementów. Na marginesie dodajmy, że zbiór podzbiorów N ma moc c. Niespodziewany efekt pojawił się właśnie jako prosty wniosek z obserwacji o mocy zbioru podzbiorów. Rozważmy mianowicie zbiór, który zawiera absolutnie wszystko i zapytajmy o jego moc. Oczywiście, skoro ten zbiór zawiera absolutnie wszystko, żaden inny nie może mieć większej mocy. Ale z kolei większą moc musi mieć rodzina podzbiorów naszego zbioru. Mamy sprzeczność. Można zapytać — „co jest grane"?

Ten problem postawiony został w 1895 roku i od tej chwili matematycy nie zaznali spokoju. Błędu w rozumowaniu nie było. Niebawem sam Cantor, a także inni, wskazali wiele kolejnych zbiorów, których badanie prowadziło do sprzeczności. Takim był na przykład, wskazany przez Bertranda Russela, „zbiór tych zbiorów, które nie są własnymi elementami".

Sytuacja wydawała się groźna. Czyżby budowany precyzyjnie przez ponad dwa tysiące lat gmach matematyki miał wadliwą konstrukcję? Niektórzy uważali, że zło tkwi w nowej teorii i w zbyt niefrasobliwym traktowaniu pojęcia nieskończoności. Leopold Kronecker, który zresztą żywił do Cantora prywatną niechęć, nazwał go szarlatanem. Henri Poincare twierdził: „Następne pokolenia potraktują teorię zbiorów jako chorobę, z której udało im się wyleczyć". Zdania były podzielone. David Hilbert uważał teorię mnogości za Jedno z największych osiągnięć ludzkiej działalności w sferze czystego myślenia" i mówił, że „nikomu nie uda się wygnać nas z raju stworzonego przez Cantora".

Zróżnicowane poglądy nie rozstrzygały jednak pytania, co jest ze „zbiorem wszystkich zbiorów". I wtedy przypomniano sobie o metodzie aksjomatycznej, która systematyzowała pojęcia, wprowadzała ścisły porządek oraz zależności między twierdzeniami. Do czasu powstania teorii mnogości zaksjomatyzowana była jedynie geometria. Monopol został przełamany, gdy w 1889 roku Giuseppe Peano zaksjomatyzował teorię liczb naturalnych. Niezależnie, rok wcześniej, uczynił to Richard Dedekind; dziś jednak mówi się o aksjomatyce Peano.

W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował system aksjomatyczny dla teorii mnogości. Uznał, że kłopoty wynikły z nieprecyzyjnego określenia (lub rozumienia) pojęcia zbioru. Jasno sformułowane aksjomaty tłumaczyły, co należy rozumieć jako zbiór i jakie operacje można na zbiorach wykonywać. System ten został uściślony przez Abrahama Fraenkla i jest obecnie jednym z najbardziej rozpowszechnionych w matematyce. Wykorzystując te aksjomaty, łatwo rozstrzygnięto problem, od którego zaczęły się kłopoty. Mianowicie okazało się, że obiekt, zawierający wszystkie zbiory, po prostu... nie jest zbiorem! Nie on jeden zresztą. Podobnie jest z obiektem powołanym do żyda przez Russela. „Istnieją obiekty, które pozornie wyglądają jak zbiory, ale zbiorami nie są" — jak powiedział jeden z krakowskich matematyków. Teoria Zermelo-Fraenkla nie pozwala na istnienie „zbyt dużych" zbiorów.

Za przykładem Zermelo i Fraenkla konstruowano inne aksjomatyczne systemy teorii mnogości. Niektóre zezwalały na istnienie obiektów bardziej ogólnych niż zbiory, zwanych klasami (klasą jest np. rodzina wszystkich zbiorów). W każdym razie widmo sprzeczności, które zawisło nad matematyką, zostało usunięte. Nie wszyscy jednak byli tego zdania. Poincare uważał, iż „wzniesiono ogrodzenie wokół stada owiec, aby ochronić je przed wilkami, lecz nie wiadomo, czy wewnątrz ogrodzenia nie ma wilków".

Zaksjomatyzowanie teorii mnogości odpowiedziało na pytanie, co począć ze „zbiorem wszystkich zbiorów". Niebawem pojawiły się jednak nowe problemy. Aksjomaty Zermelo-Fraenkla były bardzo proste w sformułowaniu, twierdziły, że pewne twory są zbiorami lub narzucały na zbiory pewne warunki, wcale nie takie silne. Oto niektóre spośród tych aksjomatów: twór, do którego nic nie należy, jest zbiorem — czyli zakładano istnienie zbioru pustego; rodzina podzbiorów danego zbioru jest zbiorem; zbiór nie jest swoim własnym elementem. Jeden z aksjomatów, nazwany aksjomatem wyboru, wydał się matematykom szczególnie podejrzany. Aksjomat wyboru mówił, że jeśli dana jest pewna (dowolna) rodzina zbiorów, to istnieje zbiór, który ma z każdym ze zbiorów rozważanej rodziny przynajmniej jeden element wspólny. Na przykład, rozważając wszystkie szkoły warszawskie, można utworzyć zbiór, do którego wchodzić będzie po jednym uczniu z każdej szkoły (reprezentacja na zlot młodzieży). Czemu ten pewnik wielu matematykom nie przypadł do gustu? Powodem był brak przepisu na ewentualne skonstruowanie żądanego zbioru. Twierdzono jedynie, że taki zbiór istnieje — i to wszystko. Dowody, wykorzystujące ten aksjomat, były dowodami niekonstruktywnymi. Mówiły o istnieniu danego obiektu, nie pokazując, jak go otrzymać.

W 1924 roku Stefan Banach i Alfred Tarski wykazali, posługując się m.in. aksjomatem wyboru, że kulę (standardową, w przestrzeni trójwymiarowej) można podzielić na skończoną liczbę kawałków tak, by z niej złożyć dwie kule identyczne z wyjściową! Rezultat ten nazwano paradoksalnym rozkładem kuli. Wydawać by się mogło, że taki „oczywisty nonsens" powinien skończyć z pewnikiem wyboru raz na zawsze. Ale z drugiej strony, na tym aksjomacie opiera się (a chwilami jest mu wręcz równoważny) wiele innych kluczowych i zgodnych z intuicją twierdzeń, i to nie tylko teorii mnogości, ale i innych działów matematyki, m.in. algebry i topologii. Odrzucając pewnik wyboru należałoby konsekwentnie odrzucić i te twierdzenia. Nie udałoby się np. wykazać nawet pozornie oczywistego faktu, że dowolny zbiór nieskończony zawiera podzbiór przeliczalny. Do dziś nie wszyscy uznają ów kontrowersyjny aksjomat, choć jednak większość matematyków nie przejmuje się i stosuje go. Zresztą, czy paradoksalny rozkład kuli istotnie jest czymś tak dziwnym? W 1988 roku Robert French zakończył artykuł opisujący ideę tego rozkładu słowami: „Od teorii przejdźmy do zabawnych i praktycznych zastosowań. Jedyne, czego potrzebujecie, to ostry nóż, bochenek chleba, kilka ryb i tłumnie zgromadzona publiczność. Jeśli teraz zastosujecie opisaną wyżej metodę, kto wie, do czego to może doprowadzić".

Historia związała losy pewnika wyboru z hipotezą kontinuum. Wspomnieliśmy już, że od chwili jej postawienia była ona wciąż atakowana przez wielu matematyków. Wagę tego problemu pokazuje m.in. to, że Hilbert, przedstawiając na Kongresie w Paryżu swą listę 23 problemów, umieścił ją na pierwszym miejscu. Do końca lat trzydziestych naszego stulecia wykazano jedynie serię warunków równoważnych hipotezie, podano także hipotezy uogólnione. Sporo uczynił tu Wacław Sierpiński; mówiono o nim żartobliwie, że przedstawił kontinuum hipotez o hipotezie kontinuum.

Dopiero w 1939 roku został uczyniony naprawdę istotny krok do przodu. Austriak Kurt Gödel udowodnił, że opierając się na klasycznym układzie aksjomatów Zermelo-Fraenkla (włączając pewnik wyboru) nie można wykazać zaprzeczenia hipotezy kontinuum. Nie znaczy to jednak wcale, że hipoteza jest prawdziwa! Ponieważ dowodzimy na podstawie konkretnych aksjomatów, może się przecież zdarzyć (choć matematycy niemal nie dopuszczali takiej możliwości), że z tych aksjomatów nie wyniknie ani hipoteza kontinuum, ani jej zaprzeczenie. Podobnie było przecież z aksjomatem Pascha. Intuicyjnie prawdziwego twierdzenia nie dało się udowodnić, ale to wcale nie znaczy, że można je obalić. Aksjomatyczna teoria była niezupełna.

Przekonanie, że wynik Gödla nie rozstrzyga jeszcze problemu miało oparcie w jeszcze innym, niezwykle ważnym twierdzeniu. Osiem lat wcześniej, ten sam, bardzo młody wówczas Gödel opublikował pracę, której rezultaty poraziły wszystkich wierzących w niezwyciężoną moc dedukcyjnych konstrukcji wyprowadzanych z aksjomatów. Otóż pokazał on, że w każdej teorii aksjomatycznej, w której używane są liczby naturalne, istnieją zdania, których nie da się ani wykazać, ani obalić! Oznacza to, że dopóki problemu się nie rozstrzygnie (nie udowodni lub nie poda kontrprzykładu) należy liczyć się z możliwością, że uzyskanie odpowiedzi okaże się niewykonalne. Co więcej, teoria taka nigdy zupełna nie będzie. Jeżeli nawet owo nieszczęsne stwierdzenie dołączymy jako następny aksjomat, to dalej będą istniały zdania nieweryfikowalne.

Konsekwencją twierdzenia Gödla było m.in., że „niewykazywalność zaprzeczenia hipotezy kontinuum" nie rozstrzyga jeszcze problemu. Teoria nie jest zupełna. A może i hipoteza kontinuum jest jednym z takich zdań, których nie da się ani obalić, ani udowodnić?

I, wbrew nadziejom wielu, okazało się to smutną prawdą. W 1963 roku Amerykanin Paul Cohen wykazał, że na pytanie o prawdziwość hipotezy kontinuum nie da się odpowiedzieć opierając się na aksjomatach Zermelo-Fraenkla. Cohen, stosując nowatorskie metody, udowodnił także niezależność aksjomatu wyboru od pozostałych aksjomatów. Za uzyskane rezultaty otrzymał w 1966 roku medal Fieldsa.

Okazało się, że mamy do czynienia z sytuacją taką, jak w przypadku aksjomatu Euklidesa o równoległych, ale jednak o innej wymowie. Jasne jest, że na płaszczyźnie i np. na sferze nie wszystko może zachowywać się dokładnie tak samo — a co dopiero, jeśli porównamy z płaszczyzną mocno powykrzywiane powierzchnie. Skoro mogą istnieć powierzchnie o różnym charakterze, to mogą istnieć także odmienne geometrie, które różnią się m.in. warunkiem o równoległych. Rezultat Cohena mówi natomiast, że istnieją różne teorie mnogości! Równie dobrze możemy powiedzieć, że między N i R zbioru o pośredniej mocy nie ma, jak stwierdzić, że on istnieje. Ale jeżeli istnieje — cóż z tego, jeżeli nie będziemy go nigdy umieli pokazać? Bo nie wskażemy go konkretnie, możemy jedynie założyć jego istnienie. I jest to tak samo dobre, jak stwierdzenie, że go nie ma. Dostalibyśmy w ten sposób różne teorie liczb rzeczywistych. Zauważmy przy okazji, że założenie istnienia odpowiedniego zbioru jest stwierdzeniem innego typu niż w przypadku aksjomatu wyboru. Tam przyjmuje się, że zbiór

O odpowiednich własnościach istnieje w dowolnej sytuacji (w pewnych, szczególnych, można go wskazać konkretnie) — tu zaś należałoby założyć istnienie zbioru, którego nie można precyzyjnie określić, w sytuacji konkretnej, dotyczącej świetnie nam znanych zbiorów liczb.

Podkreślmy raz jeszcze: nieweryfikowalność hipotezy nie oznacza, że nie umiemy jej wykazać. Oznacza, że nie mamy wystarczających danych, by odpowiedzieć na postawione pytanie. Nie mamy i nie będziemy mieli. Porównać to możemy np. do odczucia po przeczytaniu Lalki Prusa. Czy Wokulski popełnił samobójstwo, czy pojechał do Paryża pracować z Geistem? Oba rozwiązania są możliwe, nie są sprzeczne z resztą książki, zaś autor problemu nie rozstrzyga. Ten wątek powieści kończy się zagadką, pozostawiając ją wyobraźni czytelników. Czy autor skłaniał się może ku któremuś z tych rozwiązań? Nawet, jeśli tak — nigdy się o tym nie dowiemy. Bolesław Prus już nie żyje. Takich książek o niejednoznacznym zakończeniu jest więcej, niektórzy je bardzo lubią... Okazuje się, że analogicznie może być z, wydawałoby się, absolutnie precyzyjną, teorią matematyczną.

Twierdzenie Gödla jest jakby sygnałem ostrzegawczym dla wszystkich atakujących problemy matematyczne. Bo któż może zaręczyć, że próby wykazania twierdzenia Fermata czy hipotezy Riemanna nie są z góry skazane na niepowodzenie? Może i tych problemów nie da się rozwiązać opierając się na przyjętych aksjomatach?

Twierdzenia wykazane przez Gödla i Cohena zawierały założenie, że teoria mnogości jest teorią niesprzeczną. Budując teorię na podstawie aksjomatów możemy dojść do rozmaitych wniosków i twierdzeń. Teoria jest sprzeczna, jeśli z aksjomatów potrafimy wyprowadzić zarówno jakieś zdanie, jak i jego zaprzeczenie. To, że aksjomaty wydają się bardzo proste

I niezależne, wcale nie znaczy, że po długim logicznym rozumowaniu nie dadzą wniosków ze sobą sprzecznych. Zakładanie niesprzeczności wydaje się nieco dziwne; oczywiście, zajmowanie się teoriami sprzecznymi jest zajęciem bezsensownym. Należałoby więc chyba sądzić, że przed jakimikolwiek poważniejszymi badaniami należy sprawdzić, czy teoria nie jest sprzeczna — i dlatego zadziwiająco brzmi owo założenie przy, było nie było, zaawansowanych wynikach. Ale wykazanie niesprzeczności teorii mnogości również okazało się zadaniem niebanalnym... Efekt był jeszcze bardziej szokujący. Jedną z konsekwencji twierdzenia Gödla jest, że zdanie „teoria mnogości jest niesprzeczną" także należy do tych stwierdzeń, których nie możemy zweryfikować na gruncie teorii mnogości! Analogicznie jest z każdą teorią wykorzystującą arytmetykę liczb naturalnych.

Teoria mnogości dostarczyła języka, który pomógł sformalizować w zasadzie wszystkie teorie matematyczne. Wprowadzając porządek na dworze Królowej Nauk, zapoznała jednak świtę z brzydkimi kaprysami swojej pani. Tak ładnie i atrakcyjnie wyglądające problemy, których, okazuje się, nie można rozstrzygnąć... Czyżby Poincare miał rację? Zbudowano ogrodzenie (systemy aksjomatyczne) mające chronić owce (teorie) przed wilkami (sprzecznościami). I być może wilków wewnątrz nie zamknięto, ale ogrodzono wraz z owcami znacznie bardziej niebezpieczne i złośliwe stwory — widma, zjawy, które przybierając postać owcy w każdej chwili mogą przeobrazić się w wilka. Wilkołaki?

Oprócz zupełności i niesprzeczności, kolejne zagadnienie dotyczące teorii aksjomatycznych okazało się kaprysem matematyki. Aksjomaty konstruowane były dla potrzeb konkretnego obiektu czy rodziny obiektów. Należałoby więc przypuszczać, że jeśli dany system ma wiele modeli, to będą one miały liczne cechy wspólne, a różnice powinny być nieistotne. Tymczasem na przełomie lat dwudziestych i trzydziestych XX wieku Leopold Löwenheim i Toralf Skolem (miał w tym udział też Alfred Tarski) wykazali, że każda niesprzeczną teoria aksjomatyczna, dopuszczająca model nieskończony, może mieć model dowolnej mocy. Z twierdzenia Löwenheima-Skolema wynika na przykład, że istnieje przeliczalny model dla teorii liczb rzeczywistych. Więcej, teoria mnogości, w której rozważa się zbiory nieprzeliczalne, też może mieć przeliczalny model! I odwrotnie — istnieje nieprzeliczalny model dla zaksjomatyzowanych liczb naturalnych. Czy matematycy mogą się jeszcze czemukolwiek dziwić?

To, co wydawało się podstawą ścisłości, symbolem bezwzględnej prawdy, okazało się przyczyną kłopotów i niepewności. Matematyka w swoich podstawach (dział, zajmujący się min. tymi zagadnieniami, nazwano — podstawami matematyki) okazała się bardzo kapryśną królową. Proroczymi były słowa Felixa Hausdorffa, który w 1914 roku określił teorię mnogości jako „dziedzinę, w której nic nie jest oczywiste, gdzie prawdziwe twierdzenia często brzmią paradoksalnie, a prawdopodobne hipotezy nierzadko okazują się fałszywymi". Niemniej jednak, dzięki teorii zbiorów, w kierunku uporządkowania wielu rezultatów matematycznych uczyniony został milowy krok. Można powiedzieć, że matematykom, wytykającym czasami nieścisłości w innych naukach, utarto nieco nosa — i zrobił to nie kto inny, jak sama matematyka. Osiągnięcie ideału okazało się niemożliwe. Nie pozostaje nic innego, jak, nie rezygnując z nowych odkryć, pochylić głowę przed potęgą nauki...